Consideriamo la matrice
ottenuta affiancando agli elementi della matrice
quelli della matrice identità I2, e sottoponiamola alla trasformazione di Gauss-Jordan, in modo da ridurre la parte di sinistra a una matrice identità, come se dovessimo risolvere un sistema. Il procedimento ci conduce a:
ossia si è ottenuta la seguente trasformazione:[A│I] →[I│A-1]
cioè la parte di destra della nuova matrice è l'inversa della matrice A.
Questo metodo può essere applicato a matrici nxn. Forniamo qui di seguito una giustificazione della validità del metodo.
Questo metodo può essere applicato a matrici nxn. Forniamo qui di seguito una giustificazione della validità del metodo.
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Come si giustifica il metodo
Sia data la seguente matrice:
di cui vogliamo determinare l'inversa
Ricordandoci che per definizione AA-1 = I3, possiamo scrivere
e quindi, sviluppando il prodotto di matrici,
e quindi, sviluppando il prodotto di matrici,
che può anche scriversi, uguagliando le colonne delle due matrici
che equivale a tre sistemi, ciascuno risolvibile con Gauss-Jordan.
Nella soluzione con Gauss-Jordan, si ottengono le tre matrici
La parte sinistra delle tre matrici è identica ed è stata ottenuta esattamente con gli stessi passaggi.
La parte sinistra delle tre matrici è identica ed è stata ottenuta esattamente con gli stessi passaggi.Raggruppando quindi tutto in un'unica matrice
Sia dato il seguente sistema:
di cui si vogliono ricercare le eventuali soluzioni.
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La risoluzione di un sistema
Sia dato il seguente sistema:
di cui si vogliono ricercare le eventuali soluzioni.
Il sistema può scriversi in forma matriciale:
La soluzione è data da
X = A-1B
La soluzione è data da
X = A-1B
e quindi occorre trovare A-1.
Applicando il metodo poc'anzi descritto si ha:
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