La matrice inversa

Definizione
La definizione data nell'introduzione merita qualche approfondimento. Affinché sia valida la relazione

AA^-1 = A^-1A

non basta che le due matrici siano simili, abbiano cioè le stesse dimensioni, occorre anche che A, e quindi anche A^-1, sia quadrata. Se non lo fossero, le due matrici prodotto sarebbero diverse anche per dimensione e quindi la relazione indicata non potrebbe sussistere.

La definizione corretta è quindi la seguente:

data una matrice quadrata A_n, si definisce sua matrice inversa quella matrice
A_n^-1 , se esiste, per la quale vale la relazione

A_nA_n^-1 = A_n^-1 A_n = I_n

ovvero, per semplicità,

AA^-1 = A^-1A = I .

Una matrice che ammette la sua matrice inversa è detta invertibile. Si usa anche dire che la matrice è regolare o non singolare, intendendo per singolari (o non regolari) quelle matrici che non ammetto la loro inversione.

Le due matrici

sono una l'inversa dell'altra. Infatti,

e anche

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Unicità della matrice inversa

Se esiste, la matrice inversa è unica. È facile dimostrarlo. Infatti, se B e C, con B ≠ C, sono entrambe inverse di A, possiamo affermare che

B = IB,

per la nota proprietà della matrice identità

IB = (CA)B,

perché C è inversa di A, quindi I=CA

(CA)B = C(AB),

per la proprietà associativa della moltiplicazione

C(AB) = CI

perché B è inversa di A, quindi AB = I

CI = C,

per la nota proprietà della matrice identità. Cioè

B = C,

contrariamente all'ipotesi. Quindi: se esiste, l'inversa è unica.

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Esiste sempre?

Riprendiamo la matrice

di cui conosciamo già l'inversa. Se non la conoscessimo, potremmo cercare di calcolarla nel modo seguente:

Si può anche verificare che invertendo l'ordine di moltiplicazione si giunge all'identico risultato, che conferma quanto noi già sapevamo.

Proviamo, con identico procedimento, a calcolare l'inversa di

Si giunge al sistema

manifestamente incompatibile. Perché?

Cerchiamo una spiegazione, almeno per le matrici 2x2, considerando le due matrici con elementi letterali

Sviluppando il loro prodotto, si perviene al seguente sistema

il cui risultato è valido a condizione che

ad - bc ≠ 0.

Verificare, per esercizio, che si ottiene lo stesso risultato invertendo l'ordine di moltiplicazione.

È presto per trarre conclusioni di carattere generale per le matrici nxn. Ricordiamoci però questo risultato, che ritireremo fuori al momento opportuno. Per ora accontentiamoci del fatto che per le matrici 2x2 quella indicata è la condizione di esistenza della matrice inversa.

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