MODELLI LINEARI

Un primo esempio

Partiamo da un semplicissimo esempio. Vogliamo occuparci dell'alimentazione di Mario, nel senso di trovare un modo per valutare quanto spende giornalmente per mangiare e qual è l'apporto giornaliero di calorie del cibo che ingerisce. Mario sta sperimentando una nuova forma di alimentazione che comprende un solo cibo integrato che costa 10 €/kg e sviluppa 250 Cal/100 g.
Il modello è molto semplice e può essere rappresentato come nella figura 1. Relativamente all'unico alimento in gioco esiste una sola variabile: la quantità q di cibo che Mario decide di mangiare ogni giorno. Esistono poi due coefficienti, non variabili,

• il prezzo p = 10 €/Kg = 1 €/100g
• l'energia e = 200 sviluppata da 100 g di alimento.

fig. 1

La spesa giornaliera e l'apporto energetico sono in relazione lineare con q, ossia sono proporzionali a q secondo i coefficienti 1 e 200 rispettivamente

s = 1q
e = 200q .

L'aggettivo lineare attribuito a queste relazioni è dovuto al fatto che la variabile vi compare al primo grado e che queste relazioni rappresentano quindi delle rette.

Le due relazioni lineari possono essere riportate sul piano cartesiano, ottenendo i due grafici di figura 2, in ciascuno dei quali l'equazione è rappresentata da una retta passante per l'origine. Per ogni valore di q si può ottenere il corrispondente valore di s e di e.

fig. 2

Si supponga ora che Mario debba soddisfare due condizioni:

• spendere 7€
• sviluppare 2000 Calorie.

Come si vede dai grafici, la cosa è impossibile: o si soddisfa una condizione, o si soddisfa l'altra.

Questo vuol dire che il sistema:

è impossibile o, come si suol dire, è incompatibile. Infatti, dalla seconda equazione si ottiene q=10, in contrasto con la prima.

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Aumentiamo le variabili

Cerchiamo di complicare un po' le cose assumendo che l'esperimento di Mario comprenda due diversi cibi integrati, P1 e P2. Per comodità riportiamo in una tabella i dati di prezzo e di apporto energetico dei due cibi:

Questa tabella ha 2 righe e 2 colonne. Infatti, la parte utile della tabella è quella contenente i dati, non quella con le etichette. La prima riga si riferisce ai dati di prezzo, la seconda ai dati energetici. La prima colonna si riferisce al prodotto P1, la seconda al prodotto P2.
Adesso le variabili nell'alimentazione di Mario sono due:

• la quantità di P1, che indicheremo con x1 (´ 100g),
• la quantità di P2, che indicheremo con x2(´ 100g),
  

che egli può decidere di mangiare in un opportuno mix.

La spesa per P1 è data da:

s1 = p1x1 = 0,5x1

mentre quella per P2 è:

s2 = p2x2 = x2

come è evidenziato nel grafico della figura 3.
La spesa totale è quindi

s(x1, x2) =s1+ s2=p1x1+ p2x2= 0,5x1+ x2,

che risulta, come era evidente, funzione lineare delle due variabili x1 e x2.

fig. 3

Quanto fin qui detto per la spesa può ripetersi per il bilancio energetico. Si ottiene quindi

e(x1, x2) = e1 + e2 = c1x1 + c2x2 = 250x1 + 200x2.

Se imponiamo le due condizioni

• spendere 7€
• sviluppare 2000 Calorie,
  

otteniamo il seguente sistema di due equazioni lineari in due incognite:

che, risolto con uno qualsiasi dei metodi noti, fornisce la soluzione

x1 = 4, x2 = 5 .

Cioè si ha equilibrio tra budget di spesa e obiettivo energetico ingerendo 400 g di prodotto P1 e 500 g di prodotto P2.
Le due equazioni rappresentano due rette nel piano x1, x2: la retta della spesa, in cui ogni punto è un diverso mix dei due prodotti, caratterizzati tutti dalla spesa cumulativa di 7 €, e la retta relativa all'apporto energetico, pari a 2000 Cal, del mix dei prodotti. L'unico punto in comune alle due rette, che quindi soddisfa entrambe le condizioni, corrisponde al ricercato equilibrio tra spesa e calorie.
Si noti che le rette sono state volutamente tracciate nel solo primo quadrante. Infatti, in questo problema non ha senso considerare quantità negative di cibo.

fig. 4

L'esempio che abbiamo ora esaminato è certamente un caso molto semplice. Nella realtà i problemi che si devono affrontare sono molto più complessi e vengono messe in gioco molte più variabili, legate tra loro da un elevato numero di relazioni, che quando va bene sono lineari.
Gli strumenti algebrici elementari e la geometria analitica ci aiutano quindi poco. Sul piano cartesiano possiamo trattare solo due variabili e lo spazio cartesiano tridimensionale, limitato comunque alle tre variabili, non ci consente di visualizzare agevolmente l'intersezione tra piani e tra piani e rette. D'altra parte la soluzione di grandi sistemi lineari non può essere affrontata con carta e matita. È necessario ricorrere a strumenti di calcolo che però richiedono metodi diversi da quelli appresi alle scuole medie (come per esempio il metodo di sostituzione).

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