Richiamiamo alla memoria la considerazione fatta a proposito delle matrici inverse circa la condizione per la loro esistenza.
Avevamo visto che, nel caso di una matrice del secondo ordine e della sua inversa
l'inversa esiste solo se ad - bc ≠ 0 in quanto i quattro elementi della matrice inversa sono:
Viene spontaneo osservare che l'espressione ad - bc, cioè un numero, è costituita da tutti gli elementi della matrice A. Possiamo dire che alla matrice A2 è associata la seguente funzione reale di tutti i suoi elementi:d2 = f(a, b, c, d) = f(A2) = ad - bc
che per ogni quaterna a, b, c, d restituisce il valore ad - bc. Notiamo anche che tale espressione è la differenza dei prodotti dei termini di ciascuna diagonale.
Come vedremo subito, questa nuova funzione è associabile a matrici quadrate di ogni ordine n e prende il nome di determinante. Nelle prossime pagine daremo una definizione precisa del determinante e illustreremo alcune sue interessanti proprietà. Scopriremo che esso è utile nella risoluzione dei sistemi lineari.
Ripartiamo dai sistemi
Esaminiamo tre generici sistemi: di una, due e tre equazioni lineari con un numero di incognite pari al numero di equazioni, sia nella forma convenzionale che sotto forma di equazioni di matrici:
e ricerchiamone le soluzioni.
Il primo sistema è in realtà una semplice equazione la cui soluzione è
Se risolviamo il secondo con Gauss-Jordan (verificare per esercizio) otteniamo:
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