Concetto di determinante (seguito)

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Prime definizioni

Ignoriamo per ora le soluzioni (ci torneremo in un successivo capitolo) e concentriamo la nostra attenzione sui soli denominatori, che raggruppiamo per comodità nella seguente tabella, in cui indichiamo anche le rispettive matrici dei coefficienti.





Per prima cosa, osserviamo che ogni espressione nel denominatore delle radici contiene tutti i termini della matrice dei coefficienti del corrispondente sistema.
Partiamo dalla matrice A₁ del primo ordine. Associamo a questa matrice un numero pari al valore dell'unico elemento che la compone e chiamiamolo determinante della matrice. Si usano vari simboli per indicare il determinante di una matrice, è comunque

detA₁ = det[a₁₁] = │a₁₁│ = a₁₁ .

Per quanto riguarda la matrice di ordine 2, alla quale si associa il valore

a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ ,

si può fare il seguente ragionamento, illustrato dalla figura.

Immaginiamo di prendere l'elemento

a₁₁

e di considerare la matrice

[a₁₁].

Si elimini tutta la riga 1 e anche tutta la colonna 1 e si consideri la matrice degli elementi che restano, ossia, in questo caso,

[a₂₂].

Si tratta di due matrici di un solo elemento di cui sappiamo quali sono i determinanti. Prendiamo poi il secondo elemento a₁₂ e, con procedimento analogo, isoliamo le due matrici [a₁₂] e [a₂₁] di cui conosciamo i determinanti. Si vede subito che

Diciamo che questo numero è il determinante della matrice di ordine 2 e scriviamo:
Veniamo al caso delle matrici di ordine 3.

Il denominatore delle radici del sistema del terzo ordine è costituito da tre termini, il primo dei quali è il prodotto di a₁₁, il primo elemento della matrice, con l'espressione (a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) che, a guardare bene, contiene tutti e soli gli elementi che restano nella matrice dopo aver eliminato la prima riga e la prima colonna. Anzi, è proprio il determinante di una matrice di ordine 2 avente per elementi quei quattro elementi rimasti.

Come si può vedere dalla figura, il secondo termine si ottiene moltiplicando a₁₂ per (a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁), ossia prendendo il secondo termine della prima riga e moltiplicandolo per il determinante della matrice
i cui elementi sono gli elementi di A₃ dopo che è stata eliminata la prima riga e la seconda colonna.
In maniera del tutto analoga si trova il terzo termine.
Abbiamo quindi visto che

Diciamo che questo numero è il determinante della matrice di ordine 3 e scriviamo:

Resta da fare un'altra considerazione circa i segni degli addendi dell'espressione che esprime il determinante di una matrice. Come si vede, i segni sono alternati: il primo è positivo, il secondo negativo (questo anche nel detA₂) e il terzo è nuovamente positivo.
Nelle successive pagine daremo la definizione di determinante nel caso generale di matrice quadrata di ordine n, dopo aver però introdotto brevemente alcuni altri concetti relativi alle matrici.

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