Minori e aggiunti

Le matrici minori

Prendiamo in esame la matrice A_5x7 di figura. Se prendiamo, per esempio, le prime 4 righe e le prime 2 colonne, gli 8 elementi individuati costituiscono una matrice, sottomatrice o matrice minore della matrice data. Gli elementi individuati dalle restanti righe e colonne costituiscono anch'essi una matrice detta matrice complementare della matrice minore.
Non è assolutamente necessario che le righe o le colonne prescelte siano contigue e inizino dalla prima riga o dalla prima colonna. Si veda, per esempio, la matrice di quest'altra figura in cui si sono scelte le righe 2 e 4 e le colonne 3,5 e 6.

Risulta una matrice minore M_2x3 e una matrice ad essa complementare, C_3x4.
In generale, data una matrice A_mxn, è possibile individuare matrici complementari M_pxq, con 1≤p≤m e 1≤q≤n. Le matrici complementari hanno dimensioni m-p ed n-q. Affinché la matrice complementare esista è necessario che la matrice minore abbia dimensioni p<m e q<n.

I minori

Data una generica matrice A_mxn, per ciascuna delle sue matrici minori quadrate di ordine p, con p minore o uguale del minore tra m e n, è possibile definire il rispettivo determinante.

A questo determinante diamo il nome di minore di ordine p della matrice.
Se, per esempio, prendiamo la matrice

possiamo definire 3x4 = 12 minori del primo ordine, ossia i determinanti

│1│, │3│, │4│, │7│, │5│, │2│, │4│, │-3│, │-2│, │9│, │5│, │2│ .

Quanti e quali sono i minori del secondo ordine della matrice data?
Ricordandosi il calcolo combinatorio, 2 righe tra 3 e 2 colonne tra 4 possono scegliersi rispettivamente in

modi diversi. Quindi i minori di ordine 2 sono 3x6 = 18. Il primo e l'ultimo di tali minori sono:

Si diverta il lettore a individuare e calcolare gli altri 16.

Quanti e quali sono i minori di ordine 3?
Siccome p = m, le righe possono scegliersi in un solo modo. Il numero di modi in cui si possono scegliere le 3 colonne tra le 4 disponibili è dato dal numero di combinazioni di classe 3 di 4 elementi, ossia 4. E sono:

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SEGUE

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