Il metodo di Gauss

Le operazioni elementari sulle equazioni

Qui mettiamo finalmente in pratica alcuni dei concetti esposti applicandoli inizialmente a un sistema di sole due equazioni e due incognite del quale conosciamo già il risultato. È il sistema

visto in precedenza.

Per prima cosa osserviamo che nulla cambia se modifichiamo l'ordine con cui le equazioni sono scritte. Il sistema

è perfettamente equivalente al sistema iniziale. Vale quindi la

regola 1
è sempre possibile cambiare la posizione di un'equazione.

Abbiamo visto che un'equazione può essere sostituita da un'altra appartenente allo stesso fascio senza con ciò modificare la soluzione. Abbiamo anche visto che ogni equazione del fascio può essere ottenuta con una combinazione lineare delle altre dello stesso fascio. La combinazione può essere realizzata in vari modi, purché i coefficienti usati per la combinazione non siano entrambi nulli e il sistema non svanisca. Chiariamo. La combinazione

può certamente sostituire la seconda equazione, ma non la prima. L'equazione ottenuta è infatti equivalente alla seconda equazione. Se la usiamo per sostituire la prima, il sistema di fatto svanisce perché si riduce a una sola equazione. Perdiamo il fascio di rette. Abbiamo quindi la

regola 2
ogni equazione può essere moltiplicata per un numero ≠ 0 .

Supponiamo di voler sostituire l'equazione 2x+3y=8 con la combinazione lineare

ottenuta moltiplicando la prima equazione per - 2 e la seconda per 3. Possiamo effettuare l'operazione in due passi: Nel primo applichiamo la regola 2 moltiplicando la prima equazione per - 2 e ottenendo il sistema equivalente

Poi combiniamo la nuova prima equazione con la seconda moltiplicata per 3

Possiamo quindi enunciare la

regola 3
ogni equazione può essere sostituita dalla somma di se stessa con un'altra moltiplicata per un numero ≠ 0.

Applicando successivamente le regole 2 e 3 al sistema si ha:

Evidentemente le operazioni sono applicate con lo scopo di trasformare il sistema. Nell'ultimo caso si vede come l'applicazione delle regole 2 e 3 alla seconda equazione ha consentito di eliminare l'incognita x.
Riassumiamo in una tabella le 3 operazioni elementari sulle equazioni che consentono la trasformazione del sistema, mantenendolo però equivalente.

Passiamo ora a definire il metodo di eliminazione di Gauss.

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SEGUE

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