(In)dipendenza lineare (seguito 2)

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Nelle tre dimensioni

Definiamo uno spazio cartesiano x, y, z e scriviamo due semplici equazioni (prese non troppo a caso, per semplicità)

y = 0 e z = 0

Come si può vedere dalla figura, esse rappresentano, rispettivamente, i piani perpendicolari all'asse y e all'asse z e definiscono una retta, in questo caso l'asse x.



I due piani definiscono un fascio di piani, di tutti i piani passanti per l'asse x. Ogni piano di questo fascio si ottiene mediante combinazione lineare di due qualsiasi piani (non coincidenti) del fascio, per esempio dei due piani iniziali:

by + cz = 0,

ed è linearmente dipendente da essi.
Se prendiamo un terzo piano, per esempio x = 3, si individua (vedi figura) il punto P(3,0,0).

I tre piani

x = 3
y = 0
z = 0

sono linearmente indipendenti. Infatti, l'equazione

a(x - 3) + by + cz = 0

ossia

ax + by + cz - 3a = 0

è soddisfatta solo dalla terna a = b = c = 0.

Essi definiscono una stella di piani di centro P(3,0,0). Ogni altro piano della stella può essere ottenuto mediante una combinazione lineare dei tre piani indicati.
A titolo di esercizio, otteniamo tre diversi piani, partendo da quelli indicati. Per esempio, realizzando le seguenti combinazioni lineari

Si è ottenuto, in tal modo, un sistema di tre equazioni in tre incognite


appartenenti alla stessa stella e tra loro linearmente indipendenti come possiamo subito verificare. Infatti, da

a(x+y+z- 3) + b(2x+5y+3z- 6) + c(- 3x+2y- z+9) = 0

si ottiene

(a+2b- 3c)x + (a+5b+2c)y + (a+3b- c)z + (- 3a- 6b+9c) = 0

che conduce al sistema
soddisfatto solo dalla terna a = b = c = 0 come si vede ricavando c dalla terza e sostituendo nelle altre.
Sappiamo che il sistema di tre equazioni nelle tre incognite x, y, z ha per soluzione

x = 3, y = 0 e z = 0

perché lo abbiamo ottenuto noi mediante delle combinazioni lineari a partire proprio da quei dati. Se però non lo sapessimo, potremmo tentare di percorrere la strada inversa per ottenere un sistema più facilmente risolvibile o addirittura immediato come quello di partenza

È ciò che faremo nelle pagine successive. Per ora limitiamoci a concludere che in generale, date m equazioni lineari in n variabili:

p₁ = a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … + a_1nx_n- b₁ = 0
p₂ = a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ … + a_2nx_n- b₂ = 0
…
p_m = a_m1x₁+ a_m2x₂+ … + a_mnx_n- b_m = 0

queste costituiscono un insieme linearmente indipendente, se la relazione

c₁p₁+ c₂p₂+ ….+ c_mp_m = 0

è soddisfatta solo per c₁ = c₂ = … = c_m = 0 . Altrimenti le m equazioni sono linearmente dipendenti.

Nelle prossime pagine costruiremo un metodo che, sfruttando il concetto di combinazione lineare di equazioni, consente di risolvere sistemi di n equazioni in n incognite.
Giungeremo a un metodo che per risolvere un sistema di n equazioni in n incognite riesce a effettuare la seguente trasformazione:

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