Il metodo di Gauss (seguito)

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La matrice estesa

Riprendiamo il sistema

e ricordiamo che esso può essere rappresentato come un'equazione di matrici

AX = B

ovvero

in cui

Alla matrice A associamo una matrice, che chiameremo estesa o completa, che contiene, come ulteriore colonna, i termini noti del sistema. Ossia

Siccome le operazioni elementari sulle equazioni di un sistema, viste in precedenza, altro non sono che operazioni sui cofficienti, risulta più pratico operare sulla matrice estesa, invece che sulle equazioni, evitando di trascinarci dietro le incognite e il segno di uguale. La prima riga di A⁺ rappresenta la prima equazione, e così via. Le operazioni sulle equazioni diventano operazioni sulle righe della matrice.

La matrice estesa può anche indicarsi nel seguente modo:

A⁺ = [A│B].

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Il metodo di eliminazione di Gauss

Si vuole risolvere il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

Svolgiamo i passi del metodo nella seguente modo:

1. Ricaviamo dal sistema la matrice estesa.
   
2. Vogliamo 1 nella prima posizione della diagonale di A: esiste già una riga con 1 come coefficiente della x. Scambiamo le righe 1 e 2.
   
   
3. Vogliamo tutti 0 sotto a 1: applichiamo la regola 3 alle righe 2 e 3.
   
   
4. Vogliamo 1 nella seconda posizione della diagonale di A: moltiplichiamo la riga 2 per - 1/3.
   
   
5. Vogliamo 0 sotto a 1: applichiamo la regola 3 alla riga 3.
   
6. Vogliamo 1 nella terza posizione della diagonale: moltiplichiamo per 1/7.
   
   
7. Ottenuti tutti 1 nella diagonale di A, si scrive il sistema equivalente.
   
   
8. Partendo dall'ultima equazione, già risolta, si risolvono le altre a ritroso per sostituzione.
   
   

Riassumendo, il metodo di Gauss consiste nel ridurre a 1 tutti gli elementi della diagonale della matrice A e ridurre la stessa alla forma triangolare superiore, cioè con tutti 0 al di sotto di ogni 1 della diagonale.

Questo metodo presenta però lo svantaggio di richiedere, nell'ultima fase, la soluzione di un sistema per sostituzione, anche se ormai semplificato.
Il successivo metodo, che è una variante del metodo di eliminazione di Gauss, consente di ottenere, con qualche passaggio in più, direttamente la soluzione.

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NOTA BIOGRAFICA

Carl Friedrich Gauss

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