La variante Jordan

Sistemi con la matrice identità

Avevamo detto che risolvere un sistema di n equazioni lineri in n incognite significa sostanzialmente effettuare la trasformazione

ossia ottenere un sistema (il sistema) equivalente a quello dato, se esiste, la cui matrice dei coefficienti sia la matrice identità I_n. La soluzione del sistema ottenuto è quindi rappresentata dalla seguente uguaglianza tra matrici:

Infatti, in termini di matrici, la trasformazione equivale a

A_nX = B → I_nX = C

da cui, ricordando che IX = X,

X = C .

In termini di matrice estesa, la trasformazione è la seguente

[A│B] → [I│C]

ed è quella che otterremo con il metodo qui di seguito descritto, che costituisce una variante del metodo di eliminazione di Gauss.

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La variante al metodo di Gauss

In questa variante il metodo di base è sostanzialmente lo stesso, però invece di limitarsi a rendere uguali a 0 solo gli elementi al di sotto del termine 1 della diagonale, si cerca di annullare anche quelli al di sopra.
Il metodo è qui descritto, partendo dallo stesso sistema usato per spiegare il metodo di Gauss. Ossia

1. Ricaviamo dal sistema la matrice estesa.
   
2. Vogliamo 1 nella prima posizione della diagonale di A: esiste già una riga con 1 come coefficiente della x. Scambiamo le righe 1 e 2.
   
3. Vogliamo tutti 0 sotto a 1: applichiamo la regola 3 alle righe 2 e 3.
   
4. Vogliamo 1 nella seconda posizione della diagonale di A: moltiplichiamo la riga 2 per - 1/3.
   
5. Vogliamo 0 sia sopra che sotto al secondo 1: applichiamo la regola 3 alle righe 1 e 3.
   
6. Vogliamo 1 nella terza posizione della diagonale: moltiplichiamo per 1/7.
   
7. Vogliamo 0 sopra al terzo 1 (nella prima riga c'è già, casualmente): applichiamo la regola 3 alla riga 2.
   
8. Il sistema è risolto, senza ulteriori calcoli.
   

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NOTA BIOGRAFICA

Camille Jordan

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