(In)dipendenza lineare(seguito 1)

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Dipendenza e indipendenza lineare

Prendiamo due rette distinte qualsiasi del fascio di centro P(1,2). Per esempio,

x - 2y = - 3
3x + 2y = 7

che possiamo riscrivere, sotto forma di polinomi uguagliati a 0, come

x - 2y + 3 = 0
3x + 2y - 7 = 0 .

Nessuna delle due può essere ottenuta dall'altra mediante manipolazioni delle equazioni. Se si moltiplica per 3 la prima si ottiene

3x - 6y + 9 = 0

che è certamente diversa dalla seconda, anche se il primo termine è lo stesso.
Si dice che le due rette (e le rispettive equazioni) sono linearmente indipendenti. Esse identificano un universo di rette che costituisce il fascio di centro P(1,2). Se prendiamo una qualsiasi altra retta del fascio, distinta dalle prime due, questa è comunque la combinazione lineare delle prime, mediante due opportuni numeri. Infatti, sia 4x - y - 2 = 0 una terza retta dello stesso fascio (è facile verificarlo).
Vediamo se è possibile trovare due numeri m e n per cui risulti

m( x - 2y + 3) + n(3x + 2y - 7) = 4x - y - 2

ovvero, ponendo m = - a/c e n = - b/c,

a( x - 2y + 3) + b(3x + 2y - 7) + c(4x - y - 2) = 0

Sviluppando si ha:

(a+3b+4c)x + (- 2a+2b- c)y + (3a- 7b- 2c) = 0

che è vera per ogni valore delle variabili x e y solo se


ossia per a = 11, b = 7 e c = - 8.
Quindi la retta di equazione 4x - y - 2 = 0 è combinazione lineare delle prime due rette del fascio. Si dice che quest'ultima equazione (o retta) è linearmente dipendente dalle altre, oppure che le tre equazioni (o rette) costituiscono un insieme di equazioni (di rette) linearmente dipendenti. In pratica ciò significa che nel sistema di tre equazioni e due incognite



una delle tre è ridondante. Infatti, essa nulla aggiunge alla risoluzione del sistema, per risolvere il quale bastano due qualsiasi delle tre equazioni. La terza è necessariamente soddisfatta dalla soluzione del sistema (infatti la retta passa per lo stesso punto di intersezione).
Prendiamo ora invece le tre rette

3x + 2y = 0
4x - y = 0
x - 3y + 11 = 0.

Si può dimostrare che la relazione

a(3x + 2y) + b(4x - y) + c(x - 3y + 11) = 0

è soddisfatta solo dalla soluzione banale

a = b = c = 0 .

Le tre equazioni sono linearmente indipendenti.
In termini pratici, questo significa che il sistema

non è compatibile. Infatti, le tre equazioni identificano, prese due a due, tre distinti fasci di rette di centri rispettivamente nei punti O, A e B di figura. Non esiste un unico punto comune alle tre rette.

Un'ultima parola occorre spenderla per le rette parallele.

Abbiamo detto che esse costituiscono un fascio improprio poiché il loro punto d'intersezione è all'infinito, cioè non esiste. L'insieme di due rette parallele e distinte, per esempio

x - 3y = - 11
x - 3y = 11

costituisce un sistema incompatibile.

Esse sono linearmente indipendenti. Ogni loro combinazione lineare, per esempio la loro somma 2x -6y = 0, genera una retta ad esse parallele e quindi appartenente allo stesso fascio improprio. L'insieme delle tre è un insieme linearmente dipendente, come si può facilmente verificare per esercizio.

Per generalizzare, possiamo dire che dati m polinomi

p₁, p₂, …, p_m

del tipo

p(x,y) = ax + by + c

essi sono linearmente indipendenti se l'equazione ottenuta uguagliando a 0 la loro combinazione lineare, ossia

c₁p₁+ c₂p₂+ … + c_mp_m = 0

è soddisfatta solo dalla soluzione banale

c₁ = c₂ = … = c_m = 0.

Essi sono linearmente dipendenti se l'equazione ottenuta uguagliando a 0 la loro combinazione lineare, ossia

c₁p₁+ c₂p₂+ … + c_mp_m = 0

non è soddisfatta solo dalla soluzione banale

c₁ = c₂ = … = c_m = 0

esiste cioè una soluzione con almeno uno dei coefficienti ≠ 0.

Ricapitoliamo le diverse possibili situazioni nella seguente tabella:

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