(In)dipendenza lineare

Perché tanto disturbo?

Riprendiamo il semplicissimo sistema di due equazioni lineari in due incognite che abbiamo visto in precedenzae la corrispondente equazione con matrici

ossia, sinteticamente, in simboli

AX = B .

Certamente non varrebbe la pena di prendersi il disturbo di usare i nuovi concetti che abbiamo appena introdotto, e quelli che illustreremo tra breve, solo per un sistema che qualsiasi studente di scuola media non dovrebbe avere difficoltà a risolvere con il metodo di sostituzione.
In realtà, l'utilità pratica di questi nuovi metodi algebrici appare evidente solo quando si devono affrontare sistemi con molte equazioni e molte incognite. Non tanto per un uso manuale, quanto per la possibilità di automatizzare i relativi calcoli e farli svolgere ai computer.
Sul piano teorico, questa nuova algebra ci fornisce i criteri per stabilire se un generico sistema di m equazioni lineari in n incognite ammette soluzioni e quante ne ammette.
Però, per rendere più agevole la comprensione di questi concetti, semplici, ma non immediati, li applicheremo, almeno inizialmente, a sistemi riconducibili a una interpretazione geometrica nel piano cartesiano. Ossia a sistemi di due equazioni in due incognite.
L'algebra lineare, in particolare le matrici di cui ci stiamo occupando ora, consente, come già detto in precedenza, di affrontare, oltre alla soluzione dei sistemi lineari, anche altri problemi di natura sia teorica che pratica.

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Partiamo da due rette

Consideriamo le due equazioni:

3x + 2y = 7 e 2x + 3y = 8.

Nel piano cartesiano x, y esse rappresentano due rette, come indicato in figura.

Le rette si intersecano nel punto P(1,2) che rappresenta la soluzione del sistema

come può essere agevolmente verificato anche per via algebrica.

L'insieme di tutte le rette passanti per P(1,2) costituisce un universo di rette che in geometria si chiama fascio proprio di rette con centro in P(1,2). Fascio proprio perché le rette si intersecano tutte in un punto.

Anche due rette parallele individuano un fascio di rette, tutte le rette parallele alle due rette date, che però prende il nome di fascio improprio perché esse non si incontrano o, come si suol dire, si intersecano in un punto all'infinito. Vedremo più avanti cosa questo significa per un sistema.

Tra tutte le rette che passano per P(1,2) ce ne sono due molto particolari, la retta

x = 1

e la retta

y = 2 .

La loro particolarità risiede nel fatto che vi compare solo una delle due variabili e il loro sistema, che scriveremo nella forma seguente

per evidenziare l'assenza delle incognite, presenta evidentemente la stessa soluzione del sistema di partenza. I due sistemi si dicono sistemi equivalenti perché hanno la stessa soluzione. La differenza tra i due è a tutto vantaggio del secondo: in esso, infatti, la soluzione è immediata.
Prima di proseguire è necessario introdurre un altro concetto: la combinazione lineare. Ce ne occuperemo subito.

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Combinazione lineare

Usiamo le due rette di equazioni x = 1 e y = 2, passanti per P(1,2), e osserviamo che:

• moltiplicando ambo i membri della prima equazione per 7 e quelli della seconda per 5, otteniamo le due rette
  
  7x = 7 e 5y = 10,
  
  che altro non sono che le rette di partenza, quindi passano per P(1,2)
  
  
• sommando le due equazioni di partenza membro a membro
  
  otteniamo la retta di equazione x + y = 3 che passa per P(1,2) e quindi appartiene allo stesso fascio
  
  
• sommando membro a membro le equazioni 7x = 7 e 5y = 10
  
  otteniamo la retta di equazione 7x + 5y = 17 che, come si può verificare, passa anch'essa per il punto P(1,2).
  

Facciamo ancora un esempio prendendo le due rette:

x + y = 3 e 7x + 5y = 17

che già sappiamo appartenere al fascio, moltiplicando la prima per 4 e la seconda per - 1 e sommando le due equazioni così ottenute. In questo modo:

Otteniamo la retta di equazione - 3x - y = - 5, ovvero 3x + y = 5, che, ancora una volta, appartiene allo stesso fascio (verificare!).
L'operazione che abbiamo eseguito chiamasi combinazione lineare. In altri termini, dati due polinomi, per esempio

x + y - 3 e 7x + 5y - 17,

si dice loro combinazione lineare il polinomio (anch'esso lineare)

a(x + y - 3)+b(7x + 5y - 17)

in cui a e b sono due numeri non entrambi nulli.
L'equazione

a(x + y - 3)+b(7x + 5y - 17) = 0,

ottenuta uguagliando a 0 la combinazione lineare, rappresenta anch'essa una retta dello stesso fascio.
Possiamo concludere che:

mediante la combinazione lineare di due rette distinte dello stesso fascio si ottiene una retta appartenente allo stesso fascio.

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