Le matrici diagonali
La matrice qui sotto presenta una notevole particolarità: sono tutti 0 sia gli elementi al di sopra che quelli al di sotto della diagonale, e la diagonale presenta elementi diversi da 0 (non necessariamente tutti). Questo tipo di matrice viene detta diagonale.
Se la diagonale contiene tutti elementi uguali, allora prende il nome di matrice scalare
Portando lo scalare fuori dal segno di matrice risulta
La matrice con tutti 1 nella diagonale prende il nome di matrice unitaria o matrice identità e si indica con il simbolo In o I. Questa matrice è molto utile perché gode di una importante proprietà, illustrata dal seguente esempio:
Inoltre risulta anche:
Si può quindi enunciare la seguente proprietà della matrice identità:
AmxnIn = ImAmxn = Amxn
o più semplicemente
AI = IA = A
***
Le matrici simmetriche
Se applichiamo la trasposizione a una matrice, possiamo avere la sorpresa di trovare una matrice uguale a quella di partenza. Perché ciò si verifichi occorre innanzi tutto che la matrice sia quadrata. In secondo luogo, gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale devono essere uguali. Per questo motivo diciamo che la matrice è simmetrica, come quella qui indicata:
Se invece risulta AT = - A, diciamo che la matrice è antisimmetrica. Per esempio
Perché ciò sia possibile occorre che gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale abbiano segno opposto e che la diagonale sia di tutti 0.***
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