Ricordiamo l'equazione di matrici
AX = B
che rappresenta un sistema di equazioni lineari e cerchiamo, se esiste, un metodo per risolvere tale sistema, alternativo a quello di Gauss. Possibilmente che possa essere sviluppato con un computer.
Purtroppo la divisione B/A tra matrici non è definita e non è definibile, ma l'idea di trovare qualcosa di molto simile è certamente stimolante e potrebbe rivelarsi anche utile.
Immaginiamo che esista una matrice M, ottenibile in qualche modo da A, che goda della seguente proprietà:
MA = AM = I.
Se una tale matrice esistesse, potremmo moltiplicare per essa entrambi i membri dell'equazione
MAX = MB
e ricordando la sua proprietà, ossia che MA = I, semplificarla
IX = MB
ovvero, essendo IX = X,
X = MB .
La nostra equazione è risolta!
Rimangono aperte alcune questioni:
- esiste una tale matrice?
- in quali condizioni?
- è unica?
- come fare a calcolarla?
Mostreremo che una tale matrice può esistere. Quando esiste essa prende il nome di matrice inversa di A e viene indicata con A-1. Per essa quindi vale la relazione
AA-1 = A-1A = I
e la soluzione del sistema è data da
X = A-1B .
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