Nell'esempio visto il processo di trasformazione da A a I si conclude felicemente. È sempre così? Oppure ci sono dei casi nei quali questo processo non può essere portato fino in fondo?
Cerchiamo di risolvere il seguente sistema usando il metodo Gauss-Jordan:
Cominciamo scrivendo la matrice estesa ed effettuando uno scambio di righe. Dopo applichiamo successivamente le regole 2 e 3:
Come si può vedere, la terza riga si è annullata. Cioè il sistema si è ridotto a due sole equazioni con tre incognite. Si può effettuare una ulteriore semplificazione
ma non si riesce ad andare oltre. Il sistema si è ridotto al seguente
dal quale si vede immediatamente che esistono infinite soluzioni al variare di z, in tutte le quali è sempre y = 1.
Facciamo ora un altro esempio. Sia questa volta il sistema da risolvere
Seguendo lo stesso procedimento abbiamo:
Gli elementi dell'ultima riga di A si sono tutti annullati e sulle prime due non è possibile alcuna ulteriore trasformazione. L'ultima equazione del sistema equivalente ottenuto è impossibile e quindi il sistema è incompatibile.***
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