Matrici trasposte e matrici particolari

Le matrici trasposte

Nel precedente modulo, abbiamo introdotto il concetto di matrice trasposta in un caso molto particolare. È opportuno, invece, soffermarci con un po' più di attenzione su questo concetto perché ricorrerà spesso nel seguito.

Data una matrice

A = [a_ij] (i =1, …, m e j = 1, …, n),

di m righe e n colonne, si definisce sua trasposta la matrice

A^T = [a_ji] (j = 1, …, n e i =1, …, m),

di n righe e m colonne, in cui le colonne sono diventate le righe e viceversa. Come si può vedere dalla figura, l'unico elemento che non cambia posizione è a₁₁.

Come si vedrà successivamente le matrici trasposte hanno una notevole importanza.
Le operazioni su matrici trasposte godono di alcune proprietà che qui citiamo, senza dimostrare, dopo aver supposto che A e B siano matrici mxn e C sia una matrice nxk:

1. (A + B)^T = A^T + B^T


2. (A^T)^T = A


3. (AC)^T = C^TA^T

Le prime due sono facilmente verificabili. Dell'ultima darò una dimostrazione più avanti.

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Le matrici a scala

C'è un tipo di matrice che troveremo in seguito e che risulta utile nella soluzione dei sistemi lineari: la matrice echelon o a scala o a gradini. Essa si presenta nel seguente modo

in cui si può notare che le righe sono a gradini (non necessariamente regolari).
Si può dire che una matrice si presenta nella forma echelon se:

1. eventuali rige con tutti 0 seguono sempre righe con elementi diversi da 0


2. il primo elemento diverso da 0 di una riga è a sinistra del primo elemento diverso da 0 della riga successiva (ossia, nella colonna sotto di sé ha tutti 0).

Alcuni preferiscono attribuire questo nome alle sole matrici il cui primo elemento diverso da 0 di ogni riga è 1.

Ecco altri esempi di matrici di questo tipo

L'ultima di queste è nella forma echelon propriamente detta poiché il primo elemento diverso da 0 nella prima e nella seconda riga è 1.

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Le matrici quadrate

In generale, una matrice è rettangolare, ossia ha dimensioni m e n diverse.
Quando m = n si dice che la matrice è quadrata. In questo caso tutti gli elementi a_ii (con i = 1,2,…,n), aventi cioè stesso indice per la riga e per la colonna, identificano la diagonale principale della matrice o, più semplicemente, diagonale tout court.

Una matrice nxn, ossia quadrata, si dice di ordine n e la si può indicare in uno dei modi seguenti

A_nxn oppure A_n .

Avremo modo di vedere che le matrici quadrate giocano un ruolo importante, specialmente nella risoluzione dei sistemi lineari con lo stesso numero di equazioni e di incognite.

I seguenti sono esempi di matrici quadrate:

Nella matrice trasposta di una matrice quadrata, tutti gli elementi della diagonale conservano la posizione, come si può vedere dal seguente esempio: (ATTENZIONE!: correggere l'errore nella trasposta)

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Le matrici triangolari

Alcune matrici quadrate presentano delle particolarità. Per esempio, nella matrice qui sotto si nota che tutti gli elementi al di sotto della diagonale sono 0. Ce ne sono anche sopra, ma quelli sotto sono tutti 0.
Le matrici di questo tipo prendono il nome di matrici triangolari.

Si distinguono due tipi di matrici triangolari, le matrici triangolari superiori, come quella di figura, in cui gli elementi diversi da 0 si trovano nella parte superiore, e matrici triangolari inferiori, in cui gli elementi diversi da 0 si trovano al di sotto della diagonale. Ecco due esempi di matrici triangolari:

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