Moltiplicazione di matrici e proprietà delle operazioni

Un semplice caso

Supponiamo che una filiale commerciale, che vende due prodotti P1 e P2 con due venditori Bianchi e Rossi, abbia realizzato, nel mese appena concluso, la vendita delle quantità indicate nella tabella N, e che i prezzi unitari dei due prodotti siano riportate nella tabella prezzi.

Il direttore vuole conoscere il totale dei ricavi per singolo venditore. Si deve quindi completare la tabella V.

In termini di matrici, si vuole ottenere la matrice

a partire dalle due matrici

mediante un'opportuna operazione.

Come si può vedere dalle caselle di calcolo della Tabella V, il primo elemento della matrice TV si ottiene moltiplicando gli elementi della prima riga di N per i corrispondenti elementi (primo con primo, secondo con secondo) dell'unica colonna di P e sommando i due prodotti. Analogamente, il secondo elemento di TV si ottiene moltiplicando gli elementi della seconda riga di N per i corrispondenti elementi (primo con primo, secondo con secondo) dell'unica colonna di P e sommando i prodotti.

A questa operazione diamo il nome di moltiplicazione righe per colonne tra matrici, per la precisione, tra le righe della prima, N2x2,e le colonne della seconda, P2x1. In simboli

Come si vede anche dalla figura, le righe della prima matrice devono avere lo stesso numero di elementi delle colonne della seconda matrice, altrimenti l'algoritmo definito non può essere applicato e la moltiplicazione sarebbe impossibile. In altre parole, il numero di colonne della prima deve essere uguale al numero di righe della seconda. Per questo motivo la moltiplicazione PrNc, con P2x1 che precede N2x2, non può essere effettuata (le righe di P2x1 contengono un solo elemento).

Si supponga di volere un altro tipo di aggregazione di dati, per prodotto invece che per venditore. Si deve cioè completare la Tabella P

In altri termini, questa volta si vuole ottenere la matrice

TP = [50000 100000]

dagli stessi dati.

Abbiamo appena visto che il prodotto PrNc, non è definito. Per risolvere il problema, definiamo la matrice

P^T = [1000 2000]

che chiamiamo trasposta di P. Essa si ottiene scambiando le righe con le colonne (ossia, la riga 1 di P diventa la colonna 1 di P^T e la riga 2 di P diventa la colonna 2 di P^T.

Applichiamo la moltiplicazione righe per colonne alle due matrici P^T e N. Otteniamo:

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SEGUE

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