Moltiplicazione di matrici e proprietà delle operazioni(seguito 1)

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Definizione della moltiplicazione di matrici

Nell'esempio precedente abbiamo effettuato la moltiplicazione righe per colonne tra una matrice 2x2 e una 2x1 come pure quella tra una matrice 1x2 e una matrice 2x2 .

Prima di proseguire occorre fare una precisazione. La moltiplicazione tra matrici può anche essere svolta righe per righe (rxr), colonne per colonne (cxc) o colonne per righe (cxr). Per ragioni che qui non staremo a esporre, nell'algebra lineare si è adottato il criterio righe per colonne (rxc). Quindi, nel seguito non lo preciseremo più, limitandoci a indicare tale operazione con il termine generico di moltiplicazione tra matrici, che può essere effettuata con matrici di qualsiasi dimensione, fatta salva l'unica condizione che andiamo a esporre.

La moltiplicazione tra due matrici A e B è definita quando le loro dimensioni sono rispettivamente mxp e pxn, ossia quando il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda, e il prodotto è una matrice C_mxn . Si scrive:

C_mxn = A_mxpB_pxn

o più semplicemente

C = AB .

L'algoritmo che definisce la moltiplicazione è illustrato in figura.




Il prodotto C si calcola nel seguente modo:

• si prende la riga 1 di A e la colonna 1 di B
  
• si moltiplicano gli elementi corrispondenti e si sommano
  
• il risultato è il primo elemento della prima riga di C


• si tiene la riga 1 di A e si passa alla colonna 2 di B, ripetendo il procedimento e ottenendo così il secondo elemento della prima riga di C


• si prosegue fino al termine delle colonne di B, ottenendo in tal modo tutti gli elementi della prima riga di C


• si prende quindi la seconda riga di A e ripetendo quanto fatto con la prima con tutte le colonne di B, si completa la seconda riga di C


• si procede in questo modo fino all'ultima riga di A.

Questo procedimento genera gli mxn elementi di C mediante mxnxp moltiplicazioni e mxn addizioni di p addendi.

Con m = 10, n =12 e p = 7, le moltiplicazioni da eseguire sono 840 e le addizioni 120. Già con m, n, p >3 o 4 il calcolo manuale diventa impraticabile. Si può usare un foglio elettronico che consente di effettuare operazioni su matrici.

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Alcune proprietà algebriche

Quale condizione deve essere soddisfatta affinché oltre al prodotto

C_mxn = A_mxp B_pxn

esista anche il prodotto

B_pxn A_mxp?

Evidentemente, per rispettare la condizione del prodotto tra matrici, anche il numero di colonne di B deve essere uguale al numero di righe di A, ossia m = n. Consideriamo le due matrici

Esistono entrambi i prodotti




che sono manifestamente diversi.

In generale

AB ≠ BA

ossia il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa.


Vale la pena verificare quali proprietà algebriche valgono per le operazioni fra matrici fin qui definite.
Certamente valgono le seguenti proprietà dell'addizione:

• commutativa: A + B = B + A
• associativa: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
• A + 0 = A
• A + B = 0 se e solo se B = - A

Per le moltiplicazioni valgono le seguenti proprietà se tutti i prodotti indicati sono definiti:

• associativa del prodotto per scalari: a(bA) = (ab)A
• associativa: (AB)C = A(BC)
• altra proprietà associativa: a(AB) = (aA)B = A(aB)

Inoltre:

• A_mxp0_pxn = 0_mxn

Valgono le seguenti proprietà distributive nell'ipotesi di validità dei prodotti tra matrici qui indicati:

• (A + B)C = AC + BC
• A(B + C) = AB + AC
• a(A + B) = aA + aB
• (a + b)A = aA + bA

Tutte le proprietà elencate possono essere facilmente verificate per esercizio.

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