Inversione con Gauss-Jordan

Un esempio di calcolo dell'inversa

Consideriamo la matrice

ottenuta affiancando agli elementi della matrice

quelli della matrice identità I₂, e sottoponiamola alla trasformazione di Gauss-Jordan, in modo da ridurre la parte di sinistra a una matrice identità, come se dovessimo risolvere un sistema. Il procedimento ci conduce a:

ossia si è ottenuta la seguente trasformazione:

[A│I] →[I│A_-1]

cioè la parte di destra della nuova matrice è l'inversa della matrice A.
Questo metodo può essere applicato a matrici nxn. Forniamo qui di seguito una giustificazione della validità del metodo.

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Come si giustifica il metodo

Sia data la seguente matrice:

di cui vogliamo determinare l'inversa

Ricordandoci che per definizione AA_-1 = I₃, possiamo scrivere

e quindi, sviluppando il prodotto di matrici,

che può anche scriversi, uguagliando le colonne delle due matrici

che equivale a tre sistemi, ciascuno risolvibile con Gauss-Jordan.

Nella soluzione con Gauss-Jordan, si ottengono le tre matrici

La parte sinistra delle tre matrici è identica ed è stata ottenuta esattamente con gli stessi passaggi.

Raggruppando quindi tutto in un'unica matrice

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La risoluzione di un sistema

Sia dato il seguente sistema:

di cui si vogliono ricercare le eventuali soluzioni.

Il sistema può scriversi in forma matriciale:

La soluzione è data da

X = A_-1B

e quindi occorre trovare A_-1.

Applicando il metodo poc'anzi descritto si ha:

e quindi si ha:

con un'unica soluzione data da x = -5, y = 24 e z = 9/2.

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INDICE

La matrice inversa

Definizione
La definizione data nell'introduzione merita qualche approfondimento. Affinché sia valida la relazione

AA^-1 = A^-1A

non basta che le due matrici siano simili, abbiano cioè le stesse dimensioni, occorre anche che A, e quindi anche A^-1, sia quadrata. Se non lo fossero, le due matrici prodotto sarebbero diverse anche per dimensione e quindi la relazione indicata non potrebbe sussistere.

La definizione corretta è quindi la seguente:

data una matrice quadrata A_n, si definisce sua matrice inversa quella matrice
A_n^-1 , se esiste, per la quale vale la relazione

A_nA_n^-1 = A_n^-1 A_n = I_n

ovvero, per semplicità,

AA^-1 = A^-1A = I .

Una matrice che ammette la sua matrice inversa è detta invertibile. Si usa anche dire che la matrice è regolare o non singolare, intendendo per singolari (o non regolari) quelle matrici che non ammetto la loro inversione.

Le due matrici

sono una l'inversa dell'altra. Infatti,

e anche

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Unicità della matrice inversa

Se esiste, la matrice inversa è unica. È facile dimostrarlo. Infatti, se B e C, con B ≠ C, sono entrambe inverse di A, possiamo affermare che

B = IB,

per la nota proprietà della matrice identità

IB = (CA)B,

perché C è inversa di A, quindi I=CA

(CA)B = C(AB),

per la proprietà associativa della moltiplicazione

C(AB) = CI

perché B è inversa di A, quindi AB = I

CI = C,

per la nota proprietà della matrice identità. Cioè

B = C,

contrariamente all'ipotesi. Quindi: se esiste, l'inversa è unica.

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Esiste sempre?

Riprendiamo la matrice

di cui conosciamo già l'inversa. Se non la conoscessimo, potremmo cercare di calcolarla nel modo seguente:

Si può anche verificare che invertendo l'ordine di moltiplicazione si giunge all'identico risultato, che conferma quanto noi già sapevamo.

Proviamo, con identico procedimento, a calcolare l'inversa di

Si giunge al sistema

manifestamente incompatibile. Perché?

Cerchiamo una spiegazione, almeno per le matrici 2x2, considerando le due matrici con elementi letterali

Sviluppando il loro prodotto, si perviene al seguente sistema

il cui risultato è valido a condizione che

ad - bc ≠ 0.

Verificare, per esercizio, che si ottiene lo stesso risultato invertendo l'ordine di moltiplicazione.

È presto per trarre conclusioni di carattere generale per le matrici nxn. Ricordiamoci però questo risultato, che ritireremo fuori al momento opportuno. Per ora accontentiamoci del fatto che per le matrici 2x2 quella indicata è la condizione di esistenza della matrice inversa.

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INDICE

MATRICE INVERSA E SISTEMI

Un'alternativa

Ricordiamo l'equazione di matrici

AX = B

che rappresenta un sistema di equazioni lineari e cerchiamo, se esiste, un metodo per risolvere tale sistema, alternativo a quello di Gauss. Possibilmente che possa essere sviluppato con un computer.

Purtroppo la divisione B/A tra matrici non è definita e non è definibile, ma l'idea di trovare qualcosa di molto simile è certamente stimolante e potrebbe rivelarsi anche utile.

Immaginiamo che esista una matrice M, ottenibile in qualche modo da A, che goda della seguente proprietà:

MA = AM = I.

Se una tale matrice esistesse, potremmo moltiplicare per essa entrambi i membri dell'equazione

MAX = MB

e ricordando la sua proprietà, ossia che MA = I, semplificarla

IX = MB

ovvero, essendo IX = X,

X = MB .

La nostra equazione è risolta!

Rimangono aperte alcune questioni:

• esiste una tale matrice?
• in quali condizioni?
• è unica?
• come fare a calcolarla?
  

Mostreremo che una tale matrice può esistere. Quando esiste essa prende il nome di matrice inversa di A e viene indicata con A^-1. Per essa quindi vale la relazione

AA^-1 = A^-1A = I

e la soluzione del sistema è data da

X = A^-1B .

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INDICE

La variante Jordan (seguito 2)

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Sistemi "rettangolari"

Fino a questo punto abbiamo sempre tentato di risolvere sistemi di n equazioni con n incognite, ossia sistemi che presentano una matrice A dei coefficienti quadrata.
Proviamo a usare il metodo Gauss-Jordan anche con sistemi di m equazioni con n incognite, potendo essere m<n oppure m>n.

Primo esempio

Cominciamo dal primo caso, tentando di risolvere il sistema:

Lo sviluppo è il seguente:

Evidentemente qui non è possibile diagonalizzare A e le trasformazioni tendono a semplificare quanto più è possibile le equazioni. Siamo riusciti a eliminare l'ultima e quindi il sistema si riduce aossia un sistema indeterminato.

Secondo esempio

Proviamo ora un caso con più equazioni che incognite:

Sviluppando la matrice [A│B] risulta:


e si vede che le equazioni si riducono a tre, con una evidente incoerenza tra le ultime due. Il sistema è incompatibile.

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INDICE

La variante Jordan (seguito 1)

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Si arriva sempre in fondo?

Nell'esempio visto il processo di trasformazione da A a I si conclude felicemente. È sempre così? Oppure ci sono dei casi nei quali questo processo non può essere portato fino in fondo?
Cerchiamo di risolvere il seguente sistema usando il metodo Gauss-Jordan:

Cominciamo scrivendo la matrice estesa ed effettuando uno scambio di righe. Dopo applichiamo successivamente le regole 2 e 3:


Come si può vedere, la terza riga si è annullata. Cioè il sistema si è ridotto a due sole equazioni con tre incognite. Si può effettuare una ulteriore semplificazione

ma non si riesce ad andare oltre. Il sistema si è ridotto al seguente


dal quale si vede immediatamente che esistono infinite soluzioni al variare di z, in tutte le quali è sempre y = 1.

Facciamo ora un altro esempio. Sia questa volta il sistema da risolvere

Seguendo lo stesso procedimento abbiamo:

Gli elementi dell'ultima riga di A si sono tutti annullati e sulle prime due non è possibile alcuna ulteriore trasformazione. L'ultima equazione del sistema equivalente ottenuto è impossibile e quindi il sistema è incompatibile.

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SEGUE

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La variante Jordan

Sistemi con la matrice identità

Avevamo detto che risolvere un sistema di n equazioni lineri in n incognite significa sostanzialmente effettuare la trasformazione

ossia ottenere un sistema (il sistema) equivalente a quello dato, se esiste, la cui matrice dei coefficienti sia la matrice identità I_n. La soluzione del sistema ottenuto è quindi rappresentata dalla seguente uguaglianza tra matrici:

Infatti, in termini di matrici, la trasformazione equivale a

A_nX = B → I_nX = C

da cui, ricordando che IX = X,

X = C .

In termini di matrice estesa, la trasformazione è la seguente

[A│B] → [I│C]

ed è quella che otterremo con il metodo qui di seguito descritto, che costituisce una variante del metodo di eliminazione di Gauss.

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La variante al metodo di Gauss

In questa variante il metodo di base è sostanzialmente lo stesso, però invece di limitarsi a rendere uguali a 0 solo gli elementi al di sotto del termine 1 della diagonale, si cerca di annullare anche quelli al di sopra.
Il metodo è qui descritto, partendo dallo stesso sistema usato per spiegare il metodo di Gauss. Ossia

1. Ricaviamo dal sistema la matrice estesa.
   
2. Vogliamo 1 nella prima posizione della diagonale di A: esiste già una riga con 1 come coefficiente della x. Scambiamo le righe 1 e 2.
   
3. Vogliamo tutti 0 sotto a 1: applichiamo la regola 3 alle righe 2 e 3.
   
4. Vogliamo 1 nella seconda posizione della diagonale di A: moltiplichiamo la riga 2 per - 1/3.
   
5. Vogliamo 0 sia sopra che sotto al secondo 1: applichiamo la regola 3 alle righe 1 e 3.
   
6. Vogliamo 1 nella terza posizione della diagonale: moltiplichiamo per 1/7.
   
7. Vogliamo 0 sopra al terzo 1 (nella prima riga c'è già, casualmente): applichiamo la regola 3 alla riga 2.
   
8. Il sistema è risolto, senza ulteriori calcoli.
   

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NOTA BIOGRAFICA

Camille Jordan

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SEGUE

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Il metodo di Gauss (seguito)

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La matrice estesa

Riprendiamo il sistema

e ricordiamo che esso può essere rappresentato come un'equazione di matrici

AX = B

ovvero

in cui

Alla matrice A associamo una matrice, che chiameremo estesa o completa, che contiene, come ulteriore colonna, i termini noti del sistema. Ossia

Siccome le operazioni elementari sulle equazioni di un sistema, viste in precedenza, altro non sono che operazioni sui cofficienti, risulta più pratico operare sulla matrice estesa, invece che sulle equazioni, evitando di trascinarci dietro le incognite e il segno di uguale. La prima riga di A⁺ rappresenta la prima equazione, e così via. Le operazioni sulle equazioni diventano operazioni sulle righe della matrice.

La matrice estesa può anche indicarsi nel seguente modo:

A⁺ = [A│B].

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Il metodo di eliminazione di Gauss

Si vuole risolvere il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

Svolgiamo i passi del metodo nella seguente modo:

1. Ricaviamo dal sistema la matrice estesa.
   
2. Vogliamo 1 nella prima posizione della diagonale di A: esiste già una riga con 1 come coefficiente della x. Scambiamo le righe 1 e 2.
   
   
3. Vogliamo tutti 0 sotto a 1: applichiamo la regola 3 alle righe 2 e 3.
   
   
4. Vogliamo 1 nella seconda posizione della diagonale di A: moltiplichiamo la riga 2 per - 1/3.
   
   
5. Vogliamo 0 sotto a 1: applichiamo la regola 3 alla riga 3.
   
6. Vogliamo 1 nella terza posizione della diagonale: moltiplichiamo per 1/7.
   
   
7. Ottenuti tutti 1 nella diagonale di A, si scrive il sistema equivalente.
   
   
8. Partendo dall'ultima equazione, già risolta, si risolvono le altre a ritroso per sostituzione.
   
   

Riassumendo, il metodo di Gauss consiste nel ridurre a 1 tutti gli elementi della diagonale della matrice A e ridurre la stessa alla forma triangolare superiore, cioè con tutti 0 al di sotto di ogni 1 della diagonale.

Questo metodo presenta però lo svantaggio di richiedere, nell'ultima fase, la soluzione di un sistema per sostituzione, anche se ormai semplificato.
Il successivo metodo, che è una variante del metodo di eliminazione di Gauss, consente di ottenere, con qualche passaggio in più, direttamente la soluzione.

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NOTA BIOGRAFICA

Carl Friedrich Gauss

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